MATEMATICA FINANCIERA
EJERCICIOS
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MATEMATICA FINANCIERA
 

Interés Compuesto



Conceptos básicos



En el interés compuesto los intereses que se van generando se van incrementando al capital original en periodos establecidos y a su vez van a generar un nuevo interés adicional para el siguiente lapso. El interés se capitaliza.



Periodo de capitalización.- El interés puede ser convertido en Anual, semestral, trimestral y mensualmente.

Frecuencia de Conversión.- Número de veces que el interés se capitaliza durante un año (n). Cuántos trimestres tiene 1 año?. Ej. n? de un depósito que paga 5% capital trimest. n = 12 meses/3 meses = 4.



Tasa de Interés compuesto.- Se expresa comúnmente en forma anual indicando si es necesario su periodo de capitalización. Ej. 48% anual capitalizable mensualmente.

Conclusiones

a) Interés compuesto es mayor que el interés simple.

b) A mayor frecuencia de conversión mayor será el interés siendo igual la tasa anual nominal. Ej. un depósito que obtenga intereses mensualmente tendrá mayor rendimiento que uno que los obtenga trimestralmente.


EJERCICIOS

1) Cuál es la tasa de interés por periodo de:

a) 60% anual capitalizable mensualmente?

0.05 o 5% mensual.. 5%

b) 36% semestral capital trimestralmente. 18%

c) 12% trimestral 12%

d) 18% anual capital semestralmente 9%

e) 18% capitalizar mensualmente 1.5%

Monto compuesto

M = C(I + i)^n

I. Se depositan US$ 500.00 en un banco a una tasa de interés del 48% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto acumulado en 2 años?

Datos: M = 500 (1 + .04)^24 = US$ 1,281.65

C = 500.00

i = 48% acm ÷ 100 ÷ 12 = 0.04

M = ?

n = 2 años * n en 1 año = 12 X 2 = 24 n=24

II. Se obtiene un préstamo bancario de US$ 15,000 a plazo de un año y con interés del 52% convertible trimestralmente ¿Cuál será el monto a liquidar?

Datos M = 15,000 (1 + .13)^4 = US$ 24,457.10

c = 15,000

n = 1 año

i = 52% ct ÷ 100 ÷ 4 = 0.13

M = ?

III. Se decide liquidar el préstamo del ejemplo anterior en forma anticipada habiendo transcurrido 7 meses y ½. ¿Cuál es la cantidad que debe pagarse?

c = 15,000

n = 7 ½ meses = 2.5 trim.

i = 52% ct = .13

M = ?

M = 15,000 (1 + .13)^2.5 = US$ 20,360.449

IV. Se contrata un préstamo bancario por US$ 50,000 el plazo a pagar es 3 años, la tasa de interés es del 60% a, c s. ¿Qué cantidad debe pagarse si se decide cancelarlo en forma anticipada a los 15 meses.

Datos M= 50,000 (1 + .3)^2.5 = US$ 96,344.82

c = 50,000

i = 60% acs ÷ 100 ÷ 2 = 0.3

n = 15 meses

M = ?

V. Determine el interés que gana en un año un depósito de US$ 1000.00 en:

a) Una cuenta que paga el 20% de interés anual convertible trimestralmente. n = 4

M = 1000 (1 + 0.05)^4 = US$ 1,215.50 I = 215.50

b) 20% a c diariamente n = 365

M = 1000 (1 + .00054)^365 = 1,221.33 I = 221.33

7495

VI. Determine el monto acumulado de US$ 5,000.00 que se depositan en una cuenta de valores que paga el 24% anual convertible mensualmente?

a) Al cabo de un año

b) Al cabo de dos años.

a) M = ? M = 5000 (1 + .02)^12 = US$ 6,341.208

c = 5000

i = 24% a c m = 0.02

n = 1 año = 12 meses

b) n = 2 años = 24 meses

M = 5000 (1 + .02)^24 = US$ 8,042.18

VII. Cuánto dinero debe pagarse a un banco que hizo un préstamo de US$ 30,000 si se reembolsa al año capital e interés y la tasa aplicada es del 0.44 anual convertible trimestralmente?

M = C ( 1 + i)^n M = 30.000 (1 + 0.11)^4 = 45,542.11

c = 30,000

i = 0.44 a c t

n = 1 año

n = 4

VIII. Qué cantidad deberá liquidarse en caso de que el préstamo del Ejemplo anterior se pagará al cabo de 10 meses?

n = 3.33 trim.

M = 30,000 ( 1 + .11)^3.33 = US$ 42,481.305

Tasa nominal tasa efectiva y tasa equivalente.-Cuando se utiliza una operación financiera, se pacta una tasa de interés anual que rige durante el lapso que dure la operación.

Tasa Nominal de Interés.- Tasa de interés anual que rige durante el lapso que dure la operación.

Tasa efectiva anual.- Si el interés se capitaliza en forma trimestral, semestral, mensual, la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual.

Tasas equivalentes.- Dos tasas con diferentes periodos de capitalización serán equivalentes, si al cabo de un año producen el mismo interés compuesto.

Ejercicios

1.¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito bancario de US$ 1,000.00 pactado al 48% de interés anual convertible mensualmente?

i = ? M = 1000 (1 + .04)^12 = US$ 1,601.032

c = 1,000.00

i = 48% a c m M = C + I

I = C i n I = 601.032

i = I i = 601.032 = 0.601 = 60.10%

Cn 1000 (1)

La tasa efectiva de interés ganada es de 60.10% la tasa equivalente a una tasa anual de 48% convertible mensualmente es de 60.10% convertible anualmente.

2. Cuál es la tasa efectiva que se paga por un préstamo bancario de US$ 5,000.00 que se pactó al 55% de interés anual convertible trimestralmente?

C = 5,000.00 M = 5,000 (1 + C.1375)^4 0 US$ 8,370.96

i = 55% a c t I = c i n

i = I = 3370.96 * 100 =

cn 5000 (1 año)

i = 67.41 % anual




Formula General de la Tasa Efectiva i = ( 1 + j/m)^m - 1


Anualidades

En general se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo. Se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado en el tema, aunque no siempre se refieran a periodos anuales de pago. Algunos ejemplos de anualidades son :

Pagos mensuales por renta
Cobro quincenal o semanal por sueldo
Abonos quincenales o mensuales a una cuenta de crédito
Pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.
Intervalo o periodo de pago.-Se conoce como intervalo o periodo de pago al tiempo que transcurre entre un pago y otro.

Plazo de una anualidad.- es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer pago y el final o ultimo.

Renta.- es el nombre que se da al pago periódico que se hace.

También hay ocasiones en que se habla de anualidades que no tienen pagos iguales, o no se realizan todos los pagos a intervalos iguales. Estos casos se manejan de forma especial

Clasificación de las anualidades :

Anualidad cierta.- Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Por ejemplo :
a) Al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en que se debe hacer el primer pago, como la fecha para efectuar el ultimo.

Anualidad contingente.- La fecha del primer pago, la fecha del ultimo pago, o ambas, no se fijan de antemano; dependen de algún hecho que se sabe que ocurrirá, pero no se sabe cuando. Un caso común de este tipo de anualidad son las rentas vitalicias que se otorgan a un cónyuge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se da al morir el cónyuge y se sabe que este morirá, pero no se sabe cuando.

Anualidad simple.- Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses.

Anualidad vencida.- También se le conoce como anualidad ordinaria y, como su primer nombre lo indica, se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.

Anualidad inmediata.- Es el caso mas común. La realización de los cobros o pagos tiene lugar en el periodo inmediatamente siguiente a la formalización del trato : se compra a crédito hoy un articulo que se va a pagar con mensualidades, la primera de las cuales habrá de realizarse en ese momento o un mes después de adquirida la mercancía (anticipada o vencida).

Formulas para calcular el monto y valor actual de anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas :

Monto
Valor Actual

Sn= a[(1+i)n - 1]
------------
i

Vn = R[(1+i)n -1]
-----------
i(1+i)n

Donde:

R= renta o pago por periodo
a= anualidad o pago por periodo
Sn= monto o valor en el momento de su vencimiento, es el valor de todos los pagos al final de las operaciones.
n = numero de anualidades o pagos.
Vn = valor actual o capital de la anualidad. Valor total de los pagos en el momento presente.